Зачем нужна математика?
За решение некоторых математических задач назначено вознаграждение в миллион долларов. И все же они остаются нерешенными, как бы над ними ни бились лучшие умы. Как развивается математическая мысль — разве не все еще доказано? И зачем вкладывать огромные деньги в работу над абстрактными задачами? Заглянем в сложный мир математики!
Рассказывает гость программы «Вопрос науки», кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института имени Стеклова РАН Николай Николаевич Андреев.
Математика — это способ изучения нашего мира
Математика изучает наш мир в своей максимальной абстракции. Физики привыкли работать с проявлениями, а математики работают с абстракцией: ищут те очищенные от проявлений свойства нашего мира, которые можно изучать и потом прикладывать. Есть потрясающая статья нашего великого математика Манина, она озаглавлена «Математика — язык описания возможностей». В конце своей статьи Юрий Иванович приводит в пример шамана, который не решал, что делать с племенем, но давал советы предводителю племени, как лучше поступить. И заканчивает Юрий Иванович следующими словами: «Математика описывает фазовое пространство реального мира, пространство возможностей. Она изучает законы, которые определяют возможные траектории в этом фазовом пространстве, а также условия, тот набор информации, который необходим для выбора конкретной фазовой траектории». То есть она, в принципе, обществу говорит, что будешь делать так — пойдешь так, будешь делать так — будешь развиваться так. И это такой высший взгляд на математику.
[Русский математик] Алексей Николаевич Крылов сравнивает математику с мастерской: математики готовят всевозможные инструменты на разную потребу. И когда человечеству приходится решать какую-то задачу, то профессора математики — ученые-знатоки этого инструментария — выдают человечеству тот инструмент, который нужен для решения очередной задачи: иногда грубый напильник, иногда надфильчик…
Постоянно возникают все новые и новые области, математика чуть-чуть расширяется, и с новых границ становятся видны дальше те области, которые можно продолжать изучать и которые приведут затем к благам для всего человечества. Здесь можно привести очень простой пример — статью «От "безумной" геометрии Лобачевского до GPS-навигаторов». Вот Лобачевский придумал свою геометрию. Умер он, даже не увидев ни одной работающей модели. И конечно же, он не мог подумать, что потом будет создана риманова геометрия. А позже на основе римановой геометрии Эйнштейн создаст свои теории относительности, специальную и общую теорию относительности. А сейчас мы, каждый день пользуясь GPS-навигатором, пользуемся в том числе общей и специальной теориями относительности. Потому что, если бы не учитывать те эффекты, которые они дают, ошибка в определении координат на местности была бы огромной и GPS был бы не нужен. Сила математики в том, что всегда так или иначе эти, казалось бы, абстрактные изучения потом находят свое применение для человечества.
Мир только кажется математическим или это свойство природы?
Это, конечно же, свойство природы. Вообще, все математики — платоники. Есть такая книжка «Доказательство из книги» — она о том, что где-то есть написанные доказательства, и мы, люди, можем к ним приблизиться. И действительно, иногда берешь доказательство, оно может быть очень короткое, но доказывать что-то очень важное. Собственно, сама книга «Доказательство из книги» начинается с доказательства Евклида о существовании бесконечного числа простых чисел. Доказательство, которое уже выдержало много веков, а тем не менее действительно очень красивое, мощное и интересное! А бывает, смотришь и видишь, что мы еще чего-то не знаем и поэтому доказательство такое сложное.
Математика рассеивает туман — изучает то, что мы еще не изучили в нашем мире. Она позволяет выявить сущность с помощью формализации и абстрагироваться от чего-то, что настраивается уже на эту сущность. А дальше остается применять полученные законы либо к предмету, либо к задаче — это уже зависит от того, что нужно человечеству.
Математика вокруг нас
Давайте поговорим о тех проявлениях математики в нашем окружающем мире, которые всем понятны, а с другой стороны — раскрывают математический подход, математическую составляющую.
Например, циклоидальная кривая позволила создать первые маятниковые часы изохронные, у которых период колебания не зависел от амплитуды. Это были первые часы. Очевидно, что в технике математики очень много. Вот в школе все проходили параболу. Но есть оптическое свойство параболы, а именно — лучи света, проходящие параллельно оси параболы, после отражения от нее попадают в фокус. По этому принципу работают параболические тарелки, спутниковые тарелки, которые смотрят на спутник. И вот вам наглядный простой пример, который связан со школьной математикой.
Или возьмем цвета. То, как компьютеры предоставляют нам цвет, как он складывается, — это все основано на математике. Совсем недавно мы праздновали 50-летие прилунения, доставки лунохода на Луну. А в 1970 году началась наша советская лунная программа, и там было устройство, которое мы все с вами знаем, а именно — катафот, уголковый отражатель. Три плоскости взаимно перпендикулярны друг другу, и если на них посветить лучиком, то после отражения от всех трех зеркал луч идет параллельно тому направлению, откуда он пришел. Причем неважно, откуда вы светили, луч придет обратно к вам же.
Ровно поэтому из таких вот маленьких уголочков, взаимно перпендикулярных трех плоскостей, делают катафот на велосипед. И когда вы фарами автомобиля освещаете какого-то велосипедиста, вы видите отблеск от катафота, хотя там нет никаких лампочек. Но надо быть аккуратным — те, кто идет справа и слева, могут не видеть отблеска от катафота, потому что свет возвращается к вам. Эта же идея отражения используется у ограничителей, когда дорога поворачивает. Абсолютно такой же катафот, такой же набор уголковых отражателей, был установлен на луноходе. И до сих пор этот продолжающийся эксперимент по лазерной локации Луны позволяет измерять постоянно меняющееся расстояние до Луны с точностью до нескольких сантиметров, а может быть, даже миллиметров. А всего-то три плоскости! В физике есть закон: «Угол падения равен углу отражения», а дальше возникает математика.
Или вот, скажем, пример, мимо которого мы проходим постоянно: почему стаканчики делают в форме конуса? Из листочка бумаги можно сделать цилиндр или конус, почему же выбирают конус? Из-за того, что стаканчики такой формы можно вставлять друг в друга, а цилиндрические ведра или стаканчики нельзя было бы вставлять, их бы пришлось перевозить отдельно. То же самое мы видим, когда приезжают дорожные службы и расставляют конусы. Но конус — это изгибаемая поверхность, и просто коническим стаканчиком было бы пользоваться неудобно. Требовалось придать ему жесткость. Для этого нужна поверхность бублика — в математике она называется «тор». Как оказалось, даже небольшой кусочек тора, который содержит окружность, является жесткой поверхностью. Будучи сделан из того же самого тонкого пластика, он является неизгибаемой поверхностью. Вопрос: «Какие поверхности изгибаются, а какие нет?» — это была важная тема, и она до сих пор продолжается для математиков. Конечно же, это изучалось не ради стаканчиков. Но, изучив однажды какое-то свойство, мы можем прилагать математические знания в разные области.
Доказательства как основа математики
Когда вы пытаетесь решить задачу, вам нужно перебирать массу различных вариантов. А математика вам сразу говорит, что вот эти варианты можно даже не рассматривать. Строгость — это и есть сила математики.
На самом деле даже внутри математики понятие доказательства менялось. Во времена Древней Индии достаточно было нарисовать картинку, из которой следует доказательство, и написать: «Смотри» — это они уже считали доказательством. Понятное дело, что сейчас такое доказательство даже не рассматривается, ну только как иллюстрация. Один из больших, важных переломов наступил во времена Гильберта, который начал систематизировать доказательства.
В 1900 году на Международном математическом конгрессе прозвучал известный доклад Гильберта, в котором он поставил свои знаменитые «проблемы Гильберта», решить которые было очень престижно. И надо отметить, что больше половины из решенных были решены сотрудниками нашего института. И здесь я отошлю читателей к статье Льва Дмитриевича Беклемишева, нашего академика, она интересно называется: «Математика и логика». И действительно, логика иногда называется основанием математики, ведь доказательства — это предмет изучения логики. Из логики родилась масса вещей, о которых мы опять же даже не подозреваем, что в основе их лежит логика. Например, базы данных — это одно из ответвлений этой науки. Лингвистика тоже во многом опирается на логику.
На прощание хочу вернуть вас в детство. Возьму в руки книжку «Математическая составляющая», где мы собрали всевозможные сюжеты проявления математики в нашей жизни, и открою на страничке «Арифметические фокусы».
Загадайте какое-нибудь число. Загадали?
Прибавьте к нему 5. Прибавили?
Теперь умножьте результат на 2. Умножили?
Вычтите из полученного загаданное число. Вычли?
И еще раз вычтите загаданное число. Сколько получилось?
Я вам скажу: 10.
На самом деле математика упрощает взгляд на жизнь. Если записать формулой наш фокус, то это будет выглядеть очень просто. И это хорошо проясняет суть. Если бы нас читали школьники, я бы им сказал: если сейчас чуть-чуть приложить усилия и выучить математику, то потом будет гораздо легче жить. Когда во времена Виета вместо слов были введены формулы, все стало понятно и прозрачно.
