Математик из Нижнего Новгорода нашел формулу для считавшихся нерешаемыми задач
Ученый из НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде и ИППИ РАН Иван Ремизов нашел аналитический способ решения дифференциальных уравнений, что более 190 лет считалось невозможным. О концептуальном прорыве сообщила пресс-служба НИУ ВШЭ.
Из школы мы помним, как легко и непринужденно решаются квадратные уравнения. Конечно, столь же изящный способ был бы более чем полезен для дифференциальных уравнений: ведь этот фундаментальный математический инструмент описывают почти все — от колебаний маятника и сигналов в электросетях до движения планет.
Однако в 1834 году французский математик Жозеф Лиувилль показал, что невозможно выразить решение такого уравнения через его коэффициенты, используя стандартный набор арифметических действий и элементарных алгебраических функций. И с тех пор вопрос считался закрытым.
Ремизов не стал спорить с Лиувиллем, а просто расширил набор инструментов. К стандартным математическим действиям ученый добавил еще одно — нахождение предела последовательности. Это позволило записать формулу, в которую можно подставить коэффициенты a, b, c и g уравнения ay''+ by'+cy=g, и найти его решение — функцию y.
Свой метод автор изложил на страницах Владикавказского математического журнала. Он основан на теории аппроксимаций Чернова. Идея в том, что сложный, постоянно меняющийся процесс разбивается на бесконечное множество простых шагов. Чем их больше, чем они мельче — тем точнее получается приближение. С помощью преобразования Лапласа эти аппроксимации собираются в точное решение — резольвенту.
«Представьте, что искомое решение уравнения — это большая картина. Рассмотреть ее сразу целиком очень трудно. Но математика умеет отлично описывать процессы, развивающиеся во времени. Результатом работы стала теорема, которая позволяет “нарезать” этот процесс на множество маленьких простых кадров, а затем с помощью преобразования Лапласа собрать из этих кадров единую статичную картину — решение сложного уравнения, то есть резольвенту. Проще говоря, вместо того, чтобы гадать, как выглядит картина, теорема позволяет восстановить облик, быстро прокручивая “киноленту” ее создания», — пояснил Ремизов.
Дифференциальные уравнения второго порядка используются не только для моделирования событий реального мира, но и для определения новых функций, которые нельзя задать иначе. Например, специальные функции Матье и Хилла, применяемые для расчета движения спутников на орбите или протонов в Большом адронном коллайдере. Благодаря работе нижегородского математика теперь эти специальные функции можно задавать явными формулами типа y(x)=x2. Разумеется реальные формулы куда сложнее — но принцип таков.
Таким образом, статья Ремизова перекидывает мостик от математики к современной физике, а его достижение по масштабам сравнимо со знаменитыми интегралами нобелевского лауреата Ричарда Фейнмана.
