Российские математики решили задачу Пола Чернова, поставленную 57 лет назад
В 1968 году американский математик Пол Чернов предложил теорему, позволяющую приближенно вычислять полугруппы операторов — сложные, но полезные математические конструкции, описывающие, как со временем изменяются состояния многочастичных систем. Метод основан на последовательности приближений — шагов, с каждым из которых результат становится точнее. Но до сих пор было неясно, насколько быстро эти шаги приводят к результату и что именно влияет на эту скорость. Полностью эту задачу впервые решили математики Олег Галкин и Иван Ремизов из нижегородского кампуса НИУ ВШЭ. Их работа открывает путь к более надежным вычислениям в разных областях науки. Результаты опубликованы в престижном Israel Journal of Mathematics (Q1).
Во многих математических задачах и задачах теоретической физики необходимо точно вычислить сложные специфические значения — например, как быстро остывает чашка кофе, распространяется тепло в двигателе или как ведет себя квантовая частица. Исследования квантовых компьютеров и квантовых каналов передачи информации, случайных процессов и многих других важных для современной науки направлений требуют вычисления такого математического объекта, как полугруппа операторов. В основе таких вычислений лежит экспонента — одна из важнейших математических функций, выражаемая возведенным в степень числом е (примерно равным 2,718).
Однако в случае очень сложных систем, описываемых так называемыми неограниченными операторами, стандартные методы вычисления экспоненты (полугруппы операторов) перестают работать. В 1968 году американский математик Пол Чернов предложил элегантное решение этой проблемы — особый математический подход, известный сейчас как «черновские аппроксимации полугрупп операторов». Он позволял приближенно вычислять нужные значения экспоненты, последовательно строя все более точные математические конструкции.
Метод Чернова гарантировал, что последовательные приближения в итоге приведут к правильному ответу, но не показывал, с какой скоростью это произойдет. Проще говоря, было непонятно, сколько шагов необходимо, чтобы добиться нужной точности. Именно эта неопределенность мешала применять метод на практике.
Математики из нижегородского кампуса Высшей школы экономики Олег Галкин и Иван Ремизов решили эту задачу, над которой многие десятилетия бились ученые по всему миру. Им удалось получить общие оценки скорости сходимости, то есть описать, как быстро приближенные значения сходятся к точному результату в зависимости от выбранных параметров.
«Эту ситуацию можно сравнить с кулинарным рецептом. Пол Чернов указал необходимые шаги, но не объяснил, как именно подобрать оптимальные ингредиенты — вспомогательные функции Чернова, обеспечивающие наилучший результат. Поэтому нельзя было точно предсказать, с какой скоростью будет готово блюдо. Мы доработали этот рецепт и определили, какие ингредиенты подходят лучше всего, чтобы сделать метод более быстрым и эффективным», — объясняет один из авторов исследования, старший научный сотрудник Добрушинской лаборатории Института проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН и старший научный сотрудник Международной лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ Иван Ремизов.
Галкин и Ремизов показали, что метод Чернова может работать значительно быстрее, если правильно выбрать вспомогательные функции Чернова. При удачном подборе таких функций приближение становится гораздо точнее уже на ранних этапах вычислений. Математики также доказали строгую теорему: если функция Чернова и приближаемая полугруппа имеют одинаковый многочлен Тейлора порядка k и при этом функция Чернова мало уклоняется от своего многочлена Тейлора, то разница между приближенным и точным значениями уменьшается как минимум пропорционально 1/n^k, где n — номер шага, а k — любое натуральное число, отражающее качество выбранных функций.
Если продолжать аналогию с рецептом, то ученым удалось не только уточнить, какие ингредиенты работают лучше всего, но и впервые точно оценить, насколько быстрее готовится блюдо, если использовать эти оптимальные продукты. А выведенная математиками формула по этой аналогии работает так: на каждом шаге приготовления результат становится точнее, а погрешность уменьшается пропорционально единице, деленной на n в степени k, где n обозначает номер шага в рецепте, а k зависит от качества выбранных ингредиентов. Чем выше k, тем быстрее доходит до готовности нужный результат.
Хотя исследование носит теоретический характер, его значение выходит за рамки чистой математики. Такие результаты часто становятся основой для разработки новых численных методов в квантовой механике, теплопередаче, теории управления и других науках, где моделируются сложные процессы во времени.
Теорема Олега Галкина и Ивана Ремизова будет представлена онлайн 5 июля на Международной конференции «Теория функций и ее приложения».
