Статьи
Статья

Математический секрет красоты

Звезда. Орбиты планет. Сосновая шишка. Все эти природные формы не случайны. Они связаны с такими понятиями, как золотое сечение и числа Фибоначчи, за которыми стоит некое идеальное математическое соотношение. Когда мы видим что-то красивое, гармоничное, симметричное в природе или искусстве, то, скорее всего, оно имеет «золотое» соотношение частей и целого, близкое к 1,6 — его еще называют «числом бога».

Кто открыл числа Фибоначчи?

Последовательность Фибоначчи выглядит так:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711…

Если вы заметили, каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Эту последовательность первым открыл европейцам математик и путешественник Леонардо Пизанский, Фибоначчи было его прозвищем (считается, что оно образовано от слов «сын Боначчи»). В 1202 году он опубликовал монументальный 460-страничный сборник по алгебре и арифметике под названием «Книга абака», основанный на математических знаниях индусов и арабов. Этот труд настолько опережал свое время, что просвещенному человечеству потребовалось еще несколько веков, чтобы осилить и осмыслить эти сведения. Числа Фибоначчи стали применяться в математике в эпоху Возрождения и в Новое время.

Согласно легенде, на бесконечную последовательность чисел, каждое из которых является суммой двух предыдущих, Леонардо натолкнула нехитрая задачка о кроликах. Можете попробовать ее решить и проверить, получится ли у вас нужная последовательность.

Задача о кроликах

1 января у вас в закрытом загоне скрестилась пара кроликов: самка и самец. 1 февраля они произвели на свет детей — самку и самца. Новорожденные кролики становятся зрелой парой через месяц и затем еще через месяц дают жизнь новой разнополой паре животных. Вопрос: сколько пар кроликов у вас будет через год? Учтите, что каждая половозрелая пара дает жизнь только одной паре и в ней всегда один самец и одна самка, все кролики из задачи бессмертны и точно доживут до 1 января следующего года. Посчитали?

Теперь проверьте себя:

1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

3 + 2 = 5

5 + 3 = 8

8 + 5 = 13

13 + 8 = 21

21 + 13 = 34

34 + 21 = 55

55 + 34 = 89

89 + 55 = 144

144 + 89 = 233

233+ 144 = 377

Правильный ответ: через год будет 377 пар кроликов.

С точки зрения математики у последовательности Фибоначчи имеется много интересных свойств. Если взять пару соседних чисел из этого ряда и разделить большее число на меньшее, результат будет постепенно приближаться к числу золотого сечения (~1,6).

А что такое золотое сечение?

И тут настало время поговорить о принципе золотого сечения. Так называют идеальное соотношение частей и целого, которое лежит в основе таких понятий, как гармония, красота, идеал. Этим принципом руководствовался Леонардо да Винчи, когда рисовал своего «Витрувианского человека», ему же пытаются соответствовать современные дизайнеры, архитекторы, ювелиры, художники. Золотое сечение встречается и в природе, и в науке, и в технике. И это тот редкий пример, когда математическая формула передает такое сложное понятие, как красота.

Представьте отрезок. Разделите его на два меньших отрезка — a и b, при этом a должно быть равно отношению a:b. Это и будет «золотой» пропорцией. Иными словами, золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок относится к большей части так, как сама большая часть относится к меньшей. В виде формулы вышесказанное можно записать так: (a + b):a=a:b. Золотое сечение выражается числом Ф (фи), оно равно 1,6180339887, но обычно округляется до 1,618 или 1,62. Если выразить золотое сечение в процентном соотношении, то оно составит 62% к 38%.

Где искать золотое сечение?

Математики утверждают, что правило золотого сечения действует и в природе, и в космосе. Наглядный пример красоты и совершенства в природе — это растения и цветы. Внимательные ботаники давно разглядели в многообразии форм растительной жизни четкие математические закономерности: многие природные узоры, орнаменты, формы подчиняются правилу золотого сечения, вернее, одному из его частных случаев — последовательности Фибоначчи.

Многолетние наблюдения ботаников показали, что растения, чья структура или плоды подчиняются правилам золотого сечения, гораздо более выносливы, а не просто красивы. В одном из исследований по шишкам сибирской сосны или кедра было установлено, что если шишки сильно уклоняются от правильного расположения чешуек, то их семена очень слабо жизнеспособны. Иными словами, только у гармоничной красивой шишки будут жизнеспособные семена.

Числа Фибоначчи можно найти даже у себя. Посмотрите на свои руки: на обеих по пять пальцев. Два из них (большие) состоят из двух фаланг, а у остальных восьми — по три фаланги. 2, 3, 5, 8 — это как раз одни из первых чисел последовательности Фибоначчи. Совпадение? Математики считают, что это закономерно — правило золотого сечения действует повсюду.

Даже в космосе можно найти число идеальной пропорции. Возьмем Солнечную систему. Планеты вращаются по траектории эллипса, а значит, у их траекторий есть минимальный и максимальный радиус. Удивительно, но соотношение этих радиусов у всех планет Солнечной системы совпадает с числом золотого сечения, погрешность составляет доли процента. В то же время соотношение орбит планет нашей Солнечной системы очень близко к коэффициенту золотого сечения. Этот факт был известен еще Кеплеру, и, опираясь на него, он пытался построить некую универсальную систему мироздания.

«Золотая пропорция — это не только критерий красоты, — говорит профессор физического факультета МГУ, доктор физико-математических наук Павел Короленко. — Не только явление, которое позволяет проникнуть в суть понятия красивого. Но это и явление, которое несет в себе некую эвристическую ценность. Задает некое направление в исследованиях, проводимых в математике, физике, биологии. Я считаю, что это очень важное достоинство этого феномена».

Подробнее о золотом сечении и числах Фибоначчи рассказывается в фильме канала «Наука» — «В поисках абсолютной гармонии».

Зачем нужна математика?

Единственное существо, которое научилось жить вечно

В поисках эликсира молодости

Читайте также
Математики из РУДН разработали новый алгоритм принятия решений
Математики из РУДН разработали новый алгоритм принятия решений
Модель успешно отработала на китайском рынке во время вспышки COVID-19.
Ученый-математик не смог решить задачу для начальной школы
Ученый-математик не смог решить задачу для начальной школы
Взрослые не могли взять в толк, чего хотят авторы учебника.
Зачем нужна математика?
Зачем нужна математика?
Как развивается математическая мысль — разве не все еще доказано?