Математики доказали, что случайные системы подчиняются только одному закону

Недавно экономисты Омер Тамуз (Калифорнийский технологический институт) и Федор Сандомирский (Принстонский университет) представили новое математическое доказательство уникальности распределения Больцмана. Их работа вышла в журнале Mathematische Annalen. 

От молекул воздуха до выбора хлопьев

Молекулы воздуха вокруг нас движутся хаотично. Предсказать траекторию каждой невозможно, но физики давно научились работать с вероятностями. Еще в XIX веке Людвиг Больцман вывел распределение, которое вместо точных координат частиц дает вероятность любого состояния системы в целом. Это похоже на броски игральной кости: один бросок — чистая случайность, но при тысячах попыток каждый номер выпадает примерно одинаково часто.

Сегодня та же идея лежит в основе многомерной логистической регрессии (ее еще называют мультиномиальной логит-моделью) — это один из самых популярных инструментов в экономике и машинном обучении.

Простыми словами: когда компьютер или экономист хочет предсказать, что выберет человек (например, какой бренд телефона купить из пяти вариантов), модель считает вероятности для каждого выбора. Формула выглядит почти идентично распределению Больцмана: вероятность конкретного варианта пропорциональна экспоненте от какой-то «полезности» этого варианта, а потом все нормализуется, чтобы суммы вероятностей дали ровно 1.

Зачем нужна независимость

Когда экономист моделирует выбор человека — например, какую марку хлопьев он возьмет, — модель должна учитывать только значимые факторы. Если она вдруг начнет связывать это решение с цветом рубашки или купленным в другом ряду мылом, значит, в ней ошибка.

«Мы предпочитаем не отслеживать дополнительные, казалось бы, не имеющие отношения к делу варианты выбора, например, какое мыло покупатель выбрал в другом ряду», — объясняет Тамуз.

Вопрос, который задали авторы: какой математический закон гарантирует, что несвязанные выборы действительно остаются независимыми?

Тест на «необычных» кубиках

Чтобы ответить, они использовали аналогию с игральными костями. Обычная пара дает суммы от 2 до 12 с классическим распределением: двойка — 1/36, семерка — 6/36 и т.д.

В 1977 году Джордж Сихерман изобрел «странные» кости: одна с гранями 1, 3, 4, 5, 6, 8; вторая — 1, 2, 2, 3, 3, 4. При сложении сумм вероятности точно совпадают с обычными кубиками. Один бросок не дает информации о другом — идеальный пример независимости.

Тамуз и Сандомирский построили доказательство на таких парах. Они перебрали все возможные альтернативные распределения и проверили: если теория дает одинаковые вероятности сумм для обычных и «странных» костей — она сохраняет независимость. Если распределения расходятся — теория вводит ложные связи и отпадает.

Только один победитель

Представляя вероятности через многочлены (обычный кубик — x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶), ученые математически исключили все альтернативы. Только семейство Больцмана проходит все тесты безупречно.

«Мы не знали, чего ожидать, когда начинали это. В конце концов, мы поняли, что это означает, что это должна быть теория Больцмана», — признается Сандомирский.

Что это значит на практике

Доказательство укрепляет фундамент обеих наук. В физике Больцман оказывается не просто удобным, а единственно логичным выбором для несвязанных систем. В экономике многомерный логит получает статус единственной модели, которая честно отражает независимые решения без лишних корреляций.

«Это пример того, как абстрактное математическое мышление может объединять различные области — в данном случае, связывая идеи из экономической теории с физикой», — подчеркивает Тамуз.

Математик из Нижнего Новгорода нашел формулу для считавшихся нерешаемыми задач